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Interaktive Visualisierungen & prozedurale Übungsaufgaben für die Lineare Algebra
25/06/2026
Interaktive Lernmaterialien sind in der Mathematik keine Neuheit — schon seit Jahrzehnten gibt es Applets, Demos und digitale Werkzeuge für den Unterricht. Was sich verändert hat, ist die Niedrigschwelligkeit, mit der sich solche Materialien heute erstellen, einbetten und teilen lassen. Im Folgenden möchten wir anhand zweier konkreter Beispielwidgets zeigen, welches Potenzial darin steckt. Diese wurden im Wintersemester 2025 für die Lehrveranstaltung Lineare Algebra in den Studiengängen Informatik und Data Science & Scientific Computing entwickelt.
In der Linearen Algebra geht es prinzipiell um Geometrie. Das kann man eigentlich über alle Teilbereiche der Mathematik sagen, aber für die Lineare Algebra ist es erst recht der Fall. Um Lernenden die Lineare Algebra zu vermitteln, bieten sich deswegen interaktive Visualisierungen besonders gut an. Damit sind Diagramme mit beweglichen Elementen gemeint, wie z. B. das rechts.
Hier kann man die weißen Punkte ziehen und dadurch verschiedene Linearkombinationen erzeugen. Zudem kann man an den Koeffizienten unten in der Gleichung ziehen, um diese direkt zu ändern.
Eine Visualisierung in dieser Form ist hochgradig flexibel. Dozierende können sie selbst direkt als Vorführmaterial in einer Lehrveranstaltung nutzen. Zudem können Studierende damit Effekte und Zusammenhänge — hier von Linearkombinationen — explorativ selbst entdecken und erfahren. Egal, ob während einer Vorlesung als kognitiv aktivierende Unterbrechung, als Teil eines interaktiven Vorlesungsskripts oder als Übungsaufgabe. Insbesondere in Kombination mit konkreten Arbeitsaufträgen sind den Möglichkeiten hier keine Grenzen gesetzt, und wir haben noch gar nicht davon gesprochen, die einzelnen Visualisierungen für die spezifischen Anwendungsfälle anzupassen.
Natürlich gibt es hier auch Herausforderungen. Einerseits sind es Probleme, die es bei statischen Diagrammen auch gibt. Konkret in der Linearen Algebra z. B. dass nur Dinge im Zwei- und Dreidimensionalen sinnvoll darstellen kann, obwohl man es in der Praxis mit Millionen von Dimensionen zu tun hat. Andererseits sind es spezifische Probleme; hauptsächlich, dass es durch die interaktive Natur des Ganzen notwendig macht, viel über UI/UX nachzudenken. Außerdem kann man mit interaktiven Visualisierungen mehr machen, wodurch man Gefahr läuft, die Anwendungen zu überladen und zu verkomplizieren.
Das alles klingt vielleicht nach viel Aufwand. Aber Interaktivität macht das Ganze nicht grundsätzlich komplizierter, sondern eröffnet zusätzliche Möglichkeiten, die man je nach Anwendungsfall mehr oder weniger ausschöpfen kann.
Nun geht es in der Linearen Algebra aber primär um Rechenmethoden. Und auch wenn es für die Studierenden am Ende das Wichtigste ist, dass sie die geometrische Bedeutung davon verstanden haben, geht es doch rein inhaltlich erst einmal um die Funktionsweise dieser Verfahren. Diese Funktionsweise muss zumindest einmal im Lauf des Studiums verstanden und normalerweise auch abgeprüft worden sein. Unsere Lernenden müssen also auch rechnen trainieren. Und wie es sich für ein gutes Training gehört, in hinreichend großem Umfang.
Natürlich ist der Grund, warum die Algorithmen der Linearen Algebra so wichtig sind, ist auch gleich die Lösung: Die Antworten zu Rechenaufgaben sind leicht von Computern bestimmbar. Zu eigentlich allen Themen der Linearen Algebra — und vielen weiteren Bereichen des mathematischen Grundstudiums — können Studierende sich irgendeine Aufgabe zum aktuellen Thema selbst ausdenken und sich von Wolfram|Alpha die Lösung geben lassen, um diese mit der eigenen zu vergleichen.
Selbstverständlich macht das niemand, da das viel zu aufwendig ist. Für ein, zwei konkrete bzw. gegebene Aufgaben geht es vielleicht noch. Aber niemand macht das für zehn oder mehr Aufgaben. Insbesondere, wenn man sich die Aufgaben selbst ausdenkt und dann Zwischen- und Endergebnisse sehr schnell sehr hässlich ausfallen können.
Deswegen bietet es sich auch hier an, den Studierenden ein entsprechendes Widget geben zu können, wie etwa das rechts.
Prinzipiell wäre es für reine Übungszwecke sicher schon ausreichend, die Aufgabenstellungen an sich prozedural zu erzeugen und im Hintergrund Wolfram|Alpha oder Ähnliches via einer API anzubinden. Aber gerade in der Linearen Algebra gibt es oft sinnvolle Zwischenergebnisse, die man beim Rechnen dann auch auf vorhersehbare Weise erreicht, da die Algorithmen der Linearen Algebra, nun, algorithmisch sind. Rechts zum Beispiel ist das die reduzierte Zeilenstufenform, die auch immer eindeutig ist. Dadurch kann man die Erklärungen ein bisschen kleinschrittiger gestalten.
Die beiden Widgets hier sind natürlich nur Beispiele. Was sie zeigen sollen, ist das Prinzip: Interaktive Visualisierungen und interaktive Rechenübungen adressieren zwei verschiedene, aber gleichermaßen wichtige Lernziele — geometrisches Verständnis einerseits, algorithmische Kompetenz andererseits. Beide lassen sich mit überschaubarem Aufwand in bestehende Lehrveranstaltungen integrieren, und beide profitieren davon, auf den konkreten Lehrkontext zugeschnitten zu sein.
Die Integration ist bei den Widgets hier besonders leicht, da diese auf JavaScript basieren und als eigenständige Webseiten entwickelt worden sind. Sie können damit (über iframes) direkt in Moodle und andere Content-Management-Systeme eingebunden werden. Aber selbst wenn man auf ähnliche Anwendungen nur verlinkt, ist für die Studierenden bereits viel gewonnen. Nicht jede Lehrveranstaltung muss eigene Widgets entwickeln — oft genügt es, zur richtigen Zeit auf das Richtige hinzuweisen.
Das eigentliche Argument ist ohnehin kein technisches, sondern ein didaktisches: Interaktive Materialien verlagern den Schwerpunkt vom passiven Rezipieren hin zum aktiven Erkunden und Üben. Ob das durch ein maßgeschneidertes Widget, eine eingebettete Demo oder einen gut platzierten Link geschieht, ist zweitrangig. Entscheidend ist, dass Studierende die Gelegenheit bekommen, Konzepte selbst zu erfahren — und Verfahren so oft zu üben, wie sie es brauchen.
Bernhard Werner